La espiral logarítmica 

Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente, obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia el vértice O de una espiral logarítmica.

Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas y naturalistas. Se le llama también espiral equiangular (el ángulo de corte del radio vector con la curva es constante) o espiral geométrica (el radio vector crece en progresión geométrica mientras el ángulo polar decrece en progresión aritmética). J. Bernoulli, fascinado por sus encantos, la llamó spiramirabilis, rogando que fuera grabada en su tumba.

La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales (conchas de moluscos), aquellas en las que la forma se mantiene invariante. El ejemplo más visualmente representativo es la concha del nautilus.

El número de oro en el arte, el diseño y la naturaleza

El número áureo aparece, en las proporciones que guardan edificios, esculturas, objetos, partes de nuestro cuerpo, ...

   

Fi = 1,618…

Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzado del Partenón griego.

 En la figura se puede comprobar que AB/CD=(Fi) Hay más cocientes entre sus medidas que dan el número áureo, por ejemplo: AC/AD=(Fi) y CD/CA=(Fi).

Hay un precedente a la cultura griega donde también apareció el número de oro. En La Gran Pirámide de Keops, el cociente entre la altura de uno de los tres triángulos que forman la pirámide y el lado es 2(Fi)

Ya vimos que el cociente entre la diagonal de un pentágono regular y el lado de dicho pentágono es el número áureo. En un pentágono regular está basada la construcción de la Tumba Rupestre de Miraen Asia Menor.

 Ejemplos de rectángulos áureos los podemos encontrar en las tarjetas de crédito, en nuestro carnet de identidad y también en las cajetillas de tabaco..

La flor de la vida

La Flor de la Vida es un símbolo antiguo lleno de sabiduría. En este artículo describimos su proceso de construcción esencial y diversas figuras relacionadas. Algunas de ellas pueden considerarse sus partes constituyentes (como la Semilla de la Vida y el Huevo de la Vida) mientras que otras se derivan de ella (como el Fruto de la Vida o el Cubo de Metatrón). También proporcionamos enlaces a los artículos en los que deducimos los modelos 3D propuestos para algunas de estas figuras.

El Cubo de Metatrón

Los dos símbolos siguientes se obtienen completando los círculos externos de la Flor de la Vida. La primera iteración produce lo que mantengo que es el patrón 2D del Cubo de Metatrón. Si se le da volumen a los círculos se obtiene un cubo 3D hecho de 4x4x4=64 esferas, el Cubo de Metatrón tridimensional. Véase este artículo para una deducción detallada (Figura 1).

(a) El Cubo de Metatrón bidimensional.

Figura 1

(b) El Cubo de Metatrón tridimensional

La rosa mistica

Este diagrama se ha realizado uniendo entre sí, con segmentos, los 10 puntos del círculo.

Cada punto está unido con todos los demás. Sin contarlos. ¿Sabrías cuántos segmentos hay en total?

Este problema se puede resolver de varias formas, una de ellas consiste en razonar de la siguiente manera: del primer vértice saldrán 9 segmentos (ya que son 10 los puntos) , del segundo vértice saldrán 8 segmentos ( no son 9 ,puesto que uno de ellos ya ha sido contado en el primer vértice), del tercer vértice saldrán 7 segmentos.... y así sucesivamente. Por tanto el número total de segmentos es igual a :

 segmentos Otra forma de resolverlo es acudir a la combinatoria. Cada uno de los vértices está unido con todos los demás, por tanto habrá que contar de cuántas maneras. Como seguramente sabrás, responde a un concepto muy corriente en matemáticas: los números combinatorios. En particular:

 segmentos.

Raíz: Origen del nombre

Son parte de nuestras materias de estudio y las abordamos simplemente hablando de raíces o radicales, pero  ¿por qué se llama raíz cuadrada o cúbica o lo que sea?

Investigando, descubrimos que el signo √¯ (llamado radical) es una variante de la letra latina r (escrita en cursiva), primera de la palabra latina radix, que significa "raíz".

En otros tiempos (en el siglo XVI), el signo de raíz, no era la r minúscula cursiva, sino la mayúscula, la R , y junto a ella se escribía la primera letra de las palabras latinas quedratus , la q, o la primera de cubus, la c , señalando con ello que la raíz a extraer era cuadrada o cúbica.

Escribían, por ejemplo,

R.q .4352

En lugar de la moderna expresión

Si a esto añadimos que en esa época no se usaban en general los signos actuales de más y menos, y en su lugar se colocaban las letras p. (de plus) y m. (de minus), y que los paréntesis eran expresados con los signos  , comprenderemos el extraño aspecto que las expresiones algebraicas ofrecerían al lector contemporáneo.

Véase una de ellas tomada, por ejemplo, de un libro del antiguo matemático Bombelly (año 1572):

Lo que nosotros escribiríamos como sigue:

El número perfecto

Los matemáticos, que además son científicos, están obsesionados con encontrar la perfección en sus trabajos e investigaciones que tienen relación con los números. Por ello el número 2520 lo consideran perfecto ya que se puede dividir de manera exacta por los números del 1 al 10.

Divisores del 1 al 10 del número 2520:

• 2520/1=2520
• 2520/2=1260
• 2520/3=840
• 2520/4=630
• 2520/5= 504
• 2520/6= 420
• 2520/7=360
• 2520/8= 315
• 2520/9=280
• 2520/10=252